Прикладні задачі

Задачі, умови яких містять нематематичні поняття, називаються прикладними (текстовими, сюжетними, життєвими).
                         Основні вимоги до прикладних задач
1. Задачі повинні мати реальний практичний зміст, який забезпечує ілюстрацію практичної цінності і значущості набутих математичних дій.
2. Задачі повинні відповідати шкільним програмам і підручникам за формулюванням і змістом методів і фактів, які будуть використовуватися в процесі їх розв’язування.
3. Задачі повинні бути сформульовані доступною і зрозумілою мовою, не містити термінів, з якими учні не зустрічалися і які вимагають додаткових пояснень.
4. Числові дані в прикладних задачах повинні бути реальними, відповідати існуючим в практиці.
5. У змісті задачі по можливості повинен бути відображений особистий досвід учнів, місцевий матеріал, який дозволяє ефективно показати використання математичних знань і викликати в учнів пізнавальний інтерес.
6. Прикладні задачі повинні відображати ситуації промислового і сільськогосподарського виробництва, економіки, торгівлі, ілюструвати застосування математичних знань у конкретних професіях людей.
7. У прикладних задачах числові дані, як правило, мають бути наближеними, а при їх розв’язуванні необхідно використовувати обчислювальні засоби, зокрема ЕОМ.
Прикладні завдання доцільно використовувати в процесі навчання для досягнення таких дидактичних цілей як:

     1) мотивація введення нових математичних понять і методів;
     2) ілюстрація учбового матеріалу;
3)    закріплення і поглиблення знань по предмету;
4)    формування практичних умінь і навиків;
     5) демонстрація міжпредметних зв'язків.

Для розв'язування прикладної задачі необхідно:

 

     1) перевести умову прикладної задачі на мову математики;

     2) розв'язати отриману математичну задачу;

     3) скористатися результатами розв'язання математичної задачі, щоб знайти правильний розв'язок.


Схематично ці етапи можна зобразити так:

                                           А  В  С  D,

де А — дана прикладна задача,  В — її математична модель, С — відповідь для моделі.

У процесі розв'язування прикладних задач здійснюється навчання учнів елементам математичного моделювання, адже найбільш відповідальним і складним етапом розв'язування прикладної задачі є побудова її математичної моделі.

 Реалізація цього етапу вимагає від учнів умінь:

     1) виділяти істотні фактори, що визначають досліджуване явище    (процес);
     2) вибирати математичний апарат для побудови моделі;
     3) виділяти фактори, що викликають похибку при побудові моделі.

 

Такий підхід до розв'язування задач називається методом математичного моделювання.

 

 Слово «модель» походить від латинського modulus, що означає «міра», «взірець», «норма».

Модель – це матеріальний або уявний аналог деякого об’єкта (предмета, явища або процесу), який зберігає суттєві риси об’єкта і здатний заміщувати його під час вивчення, дослідження або відтворення.
Математичними моделями здебільшого бувають: функції, рівняння, нерівності і їх системи.
Створюють математичні моделі, використовуючи математичні поняття і відношення: геометричні фігури, числа, вирази тощо.
 Процес створення математичної моделі об’єкта називається математичним моделюванням.






                                        5 клас (математика)

Тема. Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

1. Сіносховище має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 16м , 5,2 м, 4 м. Скільки тонн сіна може поміститися в сховищі, якщо 1м 3 сіна має масу 54 кг?

2. В акваріум, що має форму прямокутного паралелепіпеда завширшки 30см і завдовжки 40 см, Оля вилила 6 відер води по 6 л у кожному. Вимірюючи глибину води, вона опустила вертикально до дна акваріума паличку завдовжки 28 см, тримаючи її за вершок. Чи намочила Оля руку?

3. Ящик розмірами 24 см х 15 см х 20 см дощенту наповнений піском. Яка маса піску в ящику, якщо 10 см3 піску має масу 15 г?

4. 3 дерев'яного бруска завдовжки 9 см, завширшки 7см і заввишки 5 см вирізали куб з ребром 5 см. Який об'єм частини бруска, що залишилася? Куб і прямокутний паралелепіпед мають рівні об'єми. Знайди ребро куба, якщо виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 4 см і 8 см.

5. Чи можна в акваріум, розміри якого дорівнюють 25 см, 32 см і 4 дм, влити 35 л води?

 6. Об'єм кімнати дорівнює 144 м3, а висота — 4 м. Знайдіть площу підлоги.

7.  У басейн, площа дна якого дорівнює 1 га, налили мільйон літрів води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання серед учнів п'ятого классу?

8. Виміри шматка мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють 12 см, 6 см і 4 см. Щодня витрачають однакову кількість мила. Через 14 днів користування цим милом усі його виміри зменшились у 2 рази. На скільки днів вистачить шматка, що залишився?

9.  Площа підлоги спортивного залу дорівнює 192 м2, а його об'єм — 960 м3. Знайдіть висоту залу.

10.  Знайко сконструював машину, яка за 8 год може викопати траншею, довжина якої дорівнює 150 м, глибина — 80 см, а ширина — 60 см. Скільки кубометрів землі викопує ця машина за 1 год? Роботу скількох коротунів замінює машина, якщо за 8 год один коротун може викопати 240 дм3 землі? 


                                      
                                        6 клас (математика)

Тема. Відсотки.

1. З 20 слів, які знає папуга, 14 він вивчив за останній місяць. Скільки відсотків слів папуга вивчив за останній місяць?

2. Розшукували 80 старовинних рукописів, поки що відновили 30.
Скільки відсотків плану виконано ?

3. Чому дорівнює крутизна дороги, якщо горизонтальна довжина складає 1,2 км, а спуск 30 м?

Щоб розв’язати цю задачу потрібно знайти відношення висоти спуску до
горизонтальної довжини дороги і помножити на 100% .
Нам відомо, що 1км = 1000м, отже, маємо 1,2 км=1200м.
Враховуючи вищесказане, отримаємо: 30/1200*100=2,5%

4. Дюймовочка сплела вінок із лісових квітів. У вінку було 15 дзвіночків, що становило 30% усіх квітів, а решта – ромашки. Скільки ромашок у
вінку?

5. На своїй лісовій грядці зайчик посадив 45 морквин. 9 морквин він вже
з’їв. Який відсоток морквин залишився на грядці зайчика?

6. У ведмедя на пасиці 120 вуликів. 6 вуликів ще не заселені, а в решті
живуть працьовиті бджоли. Скільки відсотків вуликів дадуть ведмедеві
меду?

7. Житнє борошно дає 25% припічки. Скільки треба взяти борошна, щоб випекти 35 кг чорного хліба?

8. За деякий обсяг роботи Івану Івановичу нарахували 2395 грн. Із них 16% - прибутковий податок, 6% - підрахунки в пенсійний фонд, 4% - відрахування в фонд зайнятості, 3% - профспілковий внесок. Скільки грошей одержить Іван Іванович після всіх відрахувань?

9. Лижник проїхав з гори 3 км 900 м, що становить 65% усього шляху. Знайдіть весь шлях.

10. Під час змагань зі стрільби перша команда з 25 пострілів влучила у ціль 15 разів, а друга команда з 20 пострілів влучила у ціль 14 разів. У якій команді стрілки кращі?


                                                                                                                            
11. Із одного старовинного першоджерела  відомо, що з кожних 36 пострілів Робіна Гуда в середньому 32 були влучними. Інше, не менш авторитетне, першоджерело стверджує, що Вільгельм Тель із кожних 15 пострілів влучав 12 раз  у середньому. Хто з видатних стрільців був більш вправним?

Тема. Найбільший спільний дільник.

1. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок, використавши всі квіти?

2. Між усіма учнями класу розділили порівну 58 зошитів у лінійку і 87 зошитів у клітинку. Скільки учнів у класі? Скільки зошитів у лінійку і скільки у клітинку отримав кожен учень?

3. У кімнаті завдовжки 625 см і завширшки 475 см вирішили викласти долівку однаковими декоративними плитками квадратної форми, не розрізуючи їх. Який найбільший можливий розмір такої плитки? Скільки плиток найбільшого розміру потрібно, щоб викласти ними долівку?

4. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 90 мандаринів, 405 цукерок і 135 пряників, якщо потрібно використати всі мандарини, цукерки і пряники?

5. Потрібно розділити на групи 54 шестикласники і 45 п'ятикласників так, щоб в усіх групах була однакова кількість шестикласників і однакова кількість п'ятикласників. Яку найменшу кількість учнів може мати одна така група?

Тема. Найменше спільне кратне.

1.  Довжина кроку Мальвіни 15 см, а Буратіно – 50 см. Яку найменшу однакову відстань повинен пройти кожен із них, щоб зробити по цілому числу кроків?

2. У маленьку коробку вміщається 12 фломастерів, а у велику –  20. Яку найменшу кількість фломастерів можна запакувати тільки в маленькі й тільки у великі коробки?

3. Рейс автобуса одного маршруту триває 48 хв, а іншого — 56 хв. Уперше ці автобуси одночасно вирушили зі спільної кінцевої зупинки о 6-й годині. О котрій годині вони вдруге одночасно вирушать із цієї зупинки?




4. Три теплоходи здійснюють різні туристичні круїзи. Перший круїз триває 12, другий — 9, третій — 18 діб. Повернувшись у порт, теплоходи наступного дня вирушають у новий круїз. 1 травня всі три теплоходи вийшли з порту за своїми маршрутами. Доведіть, що протягом травня всі три теплоходи не зустрінуться в порту одночасно.

Тема. Задачі на пропорційний поділ.

1. Щоб замісити тісто, необхідно взяти борошно, молоко і олію у відношенні 8 : 5 : 1. Скільки грамів борошна потрібно взяти, щоб вийшло 840 грамів тіста?

2. Для виготовлення царської корони використовували сплав, що містить 7 частин золота і 5 частин платини. Скільки кожного металу потрібно взяти, щоб маса корони дорівнювала 2 кг 460 г?

3. Кількість однокімнатних, двокімнатних і трикімнатних квар­тир у будинку пропорційна числам 3 : 8 : 5. Скільки квартир кожного типу в будинку, якщо в ньому трикімнатних квартир на 24 менше, ніж        двокімнатних?

4. Сім'я Петренків на літо взяла обробити поле цукрових буряків. Тато Петренко обробив 50 рядків, мама Петренко обробила 30 рядків, а си­нок Петрик Петренко обробив 10 рядків. За літо сім'я Петренків за об­робку поля заробила 1 800 гривень. Як ці гроші треба поділити між татом, мамою та сином?

5. Для виготовлення фарфору беруть 25 частин білої глини, 2 частини
піску й 1 частину гіпсу. Скільки кожного із цих матеріалів потрібно
взяти для приготування 2,8 кг суміші, з якої роблять фарфор?

                                        7 клас (Алгебра)                       
                                       
Тема. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

1. У залі 400 місць. Число рядів на 9 менше від числа місць у кожному ряді.  Скільки рядів і скільки місць має кожний ряд?

2. Сторона квадратної шайби дорівнює 60 мм. Якої довжини повинен бути лист сталі, щоб з нього можна було зробити 52 шайби? Ширина листа         300 мм.



3. На светр, шапку і шарф витратили 555 г вовни, причому на шапку пішло у 5 раз менше вовни, ніж на светр, і на 5 г більше, ніж на шарф. Скільки вовни витратили на кожен виріб?

4. У 100 г гарбуза міститься 8 мг вітаміну С. Скільки треба взяти гарбуза,  щоб дістати 100 мг вітаміну С?

5. Комп'ютерний клуб планує працювати 9 годин на день і обслуговува­ти 38 членів клубу. Обслуговування кожного члена має відбуватися що­денно за окремим комп'ютером протягом 1,5 години. Яку найменшу кількість комп'ютерів потрібно клубові, щоб обслуговувати своїх клієнтів?

6. На безлюдному острові Робінзон Крузо навчив рахувати свого папугу від 1 і до якогось числа. Якби це число подвоїти і до результату додати 30, то дістали б півсотні. До якого числа навчився рахувати папуга Робінзона Крузо?

7. В одній пачці 50 сірників, а у другій – 90. З першої пачки щодня використовують 7 сірників, а з другої – 12 сірників. Через скільки днів у другій пачці залишиться сірників удвічі більше, ніж у першій ?

8. 7-А клас зібрав у 2 рази більше макулатури, ніж 7-Б. Коли 7-А здав 25 кг макулатури, а 7-Б -- 5 кг, то в них залишилось її порівну. Скільки кілограм макулатури зібрав кожний клас?

9. Дві черепахи – мандрівниці вирішили провідати свою подругу, нора якої була на відстані 112 см від їхньої нори. Перша черепаха проповзла щогодини на 4 см більше, ніж друга, і тому завершила цю далеку і виснажливу подорож на 30 хв раніше за неї. Знайти суму швидкостей черепах (у см /год).

10. Відстань від вікна Малюка до хатинки бабусі Карлсона дорівнює 80 км. Одного разу Карлсон, гарненько пообідавши у Малюка, летів на вечерю до бабусі і запізнився на 24 хвилини. Проаналізувавши ситуацію,
Карлсон розраховував, щоб наступного разу не залишитися без торта, потрібно летіти зі швидкістю на 10 км/год більшою. Скільки хвилин Карлсон летів до бабусі?


                                        7 клас (геометрія)

Тема. Коло, описане навколо трикутника.

1. Скляреві доручили вирізати скло для вікна круглої форми. Що і як має скляр виміряти, користуючись тільки рулеткою, щоб вирізати таке скло? (Треба взяти три точки на краях вікна та виміряти відстані між ними. Побудований за трьома сторонами трикутник однозначно задає описане  коло)   

2. Де на відкритій ділянці трикутної форми потрібно помістити ліхтар,
щоб усі три кути її були освітлені однаково? (У центрі кола, описаного  
навколо трикутника)

                                        8 клас (Алгебра)

Тема. Квадратні рівняння.

1. Якщо записати у порядку зростання обидва корені рівняння   х2+7х+12=0 та дописати в кінці утвореного числа 0, дізнаємося про загальну кількість води на землі. (340 млн.м3)

2. Підземні води чисельно дорівнюють більшому кореню, збільшеному у 10 разів, рівняння х2-9х+18=0, а цифра, яка вказує кількість льодовиків
дорівнює меншому кореню цього рівняння, теж збільшеному у 10 разів. (60 і 30 млн. м3)

3. Цифра, яка дорівнює кількості води в озерах, дорівнює додатному кореню рівняння 16х2-9=0. (0,75 млн.м3)

4. Знайшовши корені рівняння 3(х+4)=36х+39, дізнаємося, скільки відсотків запасів прісної води та скільки відсотків її в рідкому стані є на землі. (3%, 1%)

5.Учні класу зустрілися, обмінялися рукостисканнями і хтось підрахував, що всіх рукостискань було 66. Скільки учнів зустрілися?

6. Раціоналізатори цеху розробили і впровадили у виробництво вдосконалений тип деталі. Визначте масу деталей нового і старого типів, коли відомо, що деталь нового типу на 0,2 кг легша за деталь старого типу, причому з 22 кг металу виготовляють на дві деталі нового типу більше, ніж виготовляли деталей старого типу з 24 кг металу.

7. Дві селянки принесли на базар разом 100 яєць, одна більше іншої. Обидві вторгували одинакові суми. Перша казала другій: «Якби у мене були твої яйця, я вторгувала б 15 крейцерів». Друга відповіла: «А якби у мене були твої яйця, я б за них вторгувала б 6 2/3 крейцера». Скільки яєць було кожної селянки?

8. Для очищення стічних вод використовують дві очисні підстанції. Відомо, що працюючи одночасно вони можуть очистити деякий об’єм води на 18 годин швидше, ніж тільки перша і на 32 години швидше, ніж одна друга підстанція. За скільки годин може очистити цей об’єм води кожна підстанція, працюючи окремо?



9. При ліквідації наслідків наводнення МНС створено декілька штабів для надання допомоги населенню, кожен з яких мав зв’язок з іншими. Скільки штабів було створено, якщо кількість ліній зв’язку між штабами дорівнює 45?

                                        8 клас (геометрія)

Тема. Подібність трикутників.

1. Стовп висотою 15 м закривається монетою діаметром 2 см, якщо тримати її на відстані 70 см від ока. Знайти відстань від стовпа до спостерігача.

2. Тінь, що відкидається вежею на поверхню землі, дорівнює 9 м, у той самий час жердина висо­тою 2 м відкидає тінь 2,4 м. Знайти висоту вежі.


3. Як знайти висоту предмета, до основи якого  можна підійти?
4. Як знайти висоту предмета, до основи якого не можна підійти?
5. Висота зображення дерева на задній стінці фотоапарата дорівнює 32 мм. Знайдіть висоту дерева, якщо воно знаходиться на відстані 29 м від об'єктива фотоапарата, а глибина фотокамери 16 см.

Тема. Вписані й описані чотирикутники.
    
1. З колоди діаметром 120 мм необхідно випиляти брус товщиною 40 мм. Знайти найбільшу ширину бруса.

2. З колоди потрібно випиляти 7 дощок однакової довжини товщино 40мм кожна. Знайти найбільшу ширину кожної дошки, якщо діаметр колоди 350мм.
3. З кількох колод однакового діаметра випилюють балки різного поперечного перерізу. Для якого перерізу балки відходів буде найменша кількість? ( Якщо балка буде мати квадратний переріз)

Тема. Площа многокутників.

1. Основа постаменту пам’ятника має фірму квадрата зі стороною 6 м.
Навколо пам’ятника розміщена клумба шириною 2м. Знайти площу клумби.

2. Кожну із двох рівновеликих ділянок потрібно обнести огорожею. Одна ділянка має форму квадрата зі стороною 80 м, а інша – форму прямокутника, одна сторона якого дорівнює 50 м. На яку огорожу буде потрібно більше матеріалу і на скільки, якщо на кожні 12 м потрібно 1 м3 пиломатеріалів?

3. Сад має форму прямокутника зі сторонами 580 м і 376 м. Скільки в ньому яблунь, якщо на кожну яблуню припадає в середньому 16 м2? Який виторг дав сад після продажу яблук, якщо з 1 га зібрано по 35 т яблук і кожна тонна продана в середньому по 2,5 грн?

4. Підлогу кімнати, що має прямокутну форму розміром 11 м х 8,8 м, потрібно вистелити паркетом, одна плитка якого має розмір 5 см х 25 см. Скільки потрібно плиток паркету, якщо на припасування і прирізку витрачається 3% від загальної площі?

5. Освітлення кімнати вважається нормальним, якщо площа прорізів вікон не менша за 0,2 площі підлоги. Визначити, чи нормально освітлена ваша класна кімната.

6. Трактор, рухаючись зі швидкістю 15 км/год, тягне за собою дискову сівалку з робочою шириною захвату 6 м. Скільки гектарів можна засіяти у такий спосіб за 8- годинний робочий день?

7. До будинку необхідно зробити добудову з трьох стін, використовуючи одну зі стін будинку. Виявилося, що цегли вистачить на 100 м стіни (по
периметру трьох нових стін). Добудова має бути максимальною за площею. Які розміри добудови вибрати?

8. На підлозі розстелені два килими: один площею 6 м2, а другий – 8 м2. Килими частково накладені один на другий по фігурі площею 1 м. Яку  площу підлоги закривають килими?


9. Прямокутна квіткова клумба займане площу 216 м2. Уздовж довгих сторін  необхідно прокласти доріжки шириною 2 м, уздовж коротких – шириною 3 м. Які мають бути розміри прямокутної ділянки (клумби разом з доріжкою), щоб площа доріжок була найменшою?

10. Один новосел вирішив вистелити різнобарвними квадратними плитками підлогу в кухні площею 7,29 м2 і купив такий набір: 1 плитка зі стороною 120 см, 3 плитки зі стороною 90 см, 9 плиток зі стороною 60 см і 2 плитки зі стороною 30 см. Інший новосел для такої самої підлоги купив: 2 плитки зі стороною 120 см, 2 плитки зі стороною 90 см, 8 плиток зі стороною 60 см і 2 плитки зі стороною 30 см. Хто з них вигадав?

11. Ділянку, що має форму прямокутника, потрібно розділити двома межами, що виходять з одного кута, на три рівновеликі частини. Як це зробити? (Сполучити вершину кута з точками на протилежних сторонах, які ділять сторони у відношенні 1:2)

12. Ділянку, що має форму прямокутника, потрібно розділити трьома межами на чотири рівновеликі частини. Як це робити? (Сполучити вершину кута з протилежною їй вершиною і з серединами сторін)

13. Поверхня озера має форму квадрата. У вершинах квадрата на березі озера ростуть чотири дуби. Треба удвічі збільшити площу озера так, щоб нове озеро зберегло форму квадрата і щоб усі чотири дуби залишились на своїх місцях. Як це зробити?

14. Потрібно вистелити підлогу кімнати розміром 6 м х 4 м плитками правильної шестикутної форми. Скільки таких плиток необхідно мати, якщо сторона плитки 20 см?

15. Підлогу прямокутного фойє театру, розміри якого 4,6 м х 8,4 м потрібно покрити керамічною плиткою двох різних кольорів (порівно кожного кольору). Скільки потрібно плиток кожного кольору, якщо плитка має форму правильного шестикутника зі стороною 10 см?

16. На плані, виконаному в масштабі 1:200, місце для установки деякого об’єкта займає 360 см2. Яку площу воно займає насправді?

Тема. Теорема Піфагора.
1. Ви пливете на човні по озеру і хочете дізнатись його глибину. Чи можливо для цього скористатися очеретом, що виглядає з води, не вириваючи його?
                                          
 Розв’язання:
 Злегка відхиливши очерет і тримаючи його в натягнутому стані, заміряємо відстань а між точками А і В, в яких очерет перетинає поверхню води відповідно у вертикальному і нахиленому положенні. Повернемо очерет в початковий стан і визначимо висоту b над водою, на яку підніметься при цьому точка В нахиленого очерету, зайнявши початкове положення С. Тоді, позначивши через D основу очерету, а через х - шукану глибину АD, з прямокутного трикутника АВD знаходимо  невідомі сторони за теоремою Піфагора.
2. Для встановлення вежі телевізійної антени виготовлені троси довжиною 20,2 м ,  які закріплені до вежі на висоті 1,62 м. На якій відстані від основи вежі потрібно закріпити кінці троса?
3. Вертикальна вежа тримається за допомогою 3 канатів, що кріпляться до неї на відстані 10 м  від землі та до землі на відстані 12 м  від основи  вежі. Скільки  метрів канату потрібно, щоб закріпити вежу?
4. Від  причалу одночасно відплили два пароплава: один на північ зі  швидкістю 16 миль/год, а другий на захід, зі швидкістю 12 миль/год. Яка відстань буде між пароплавами  через 3 год?        (1 миля – 1,85 км)
5. Ескалатор  торгового центру має 23 сходинки. Ширина сходинок 40 см, а висота 20 см. Знайти довжину ескалатора?

 6. До вертикального стовпа в двох місцях, які знаходяться 2 м один від одного, прикріплено 2 троса, інші кінці яких кріпляться до землі. Відстань від основи стовпа до тросів 8 м, довжина меншого троса 10 м. Знайдіть довжину більшого троса.
7. Драбина довжиною 12,5м приставлена до стіни так, що відстань від нижнього кінця драбини до стіни 3,5м. На якій відстані від землі впирається в стіну верхній кінець драбини?
8.Ширина сходинок  в житловому будинку  30 см, а висота 15 см. Знайти довжину  підойму, який містить 20 сходинок?
Тема. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного    трикутника.
1. Розвідний міст підняли під кутом 32 градуси на висоту 40 метрів. Знайти довжину моста?
2. Висока радіовежа закріплена тросами. Яка висота вежі, якщо точка А знаходиться на відстані 75 метрів від основи вежі, а трос закріплено під кутом 71 градус від землі.
3. Сашко, дивлячись на дерево, бачить верхівку під кутом 32 градуси. Зріст Сашка 1,6 м, відстань до дерева 8 м. Знайдіть висоту дерева?
4. Під яким кутом падає на землю сонячний промінь, якщо вертикальна жердина, довжина якої становить 1,5 м , відкидає тінь завдовжки 0,7 м?
5. Автомобіль піднімається по шоссе вверх вздовж моря під кутом 15 градусів і проїздить 500 метрів. Яку відстань пройде пішохід, рухаючись пішки берегом моря?
6. Якої довжини має бути пожежна драбина, щоб по ній можна було піднятися на дах будинку заввишки 9 м , якщо ставити її під кутом 70 градусів до поверхні землі.
7. Проїхавши від старту прямолінійною ділянкою шоссе 300 м, велосипедист опинивсяна 11 м вище, ніж точка старту. Знайдіть кут підйому шоссе на цій ділянці.





                                          9 клас (геометрія)

Тема. Трапеція.
1. Для садка відвели ділянку землі, яка має форму рівнобічної трапеції, одна з основ якої на 50 м  більша від кожної сторони, а середня  лінія –  90м. Навколо садка проходить алея шириною 2 м. По обидві сторонни від алеї  потрібно посадити дерева на відстані один від одного. Скільки потрібно для цього дерев?
2.Для побудови  трампліну поставили балку висотою 10 м, а довжина самого трампліну 13 м. Знайти відстань від балки до початку трампліну, якщо висота трампліну у місці стрибка 2 м?
3. Висоти двух вертикальних стовпів 5 м та 12,5 м, відстань між ними 10м. Знайти найменшу довжину троса, яким можна з'єднати верхні кінці стовпів.
4. Знайдіть висоту вежі, якщо відстань від спостерігача до жердини дорівнює 1,5 м, до вежі - 39 м, висота жердини – 3 м, а зріст спостерігача – 1,8 м. 
                                  

5. Тенісний м'я подали з висоти 2 м 10 см. Він пролетів над  сіткою, висота якої 90 см. На якій відстані від сітки м'яч впаде на землю, якщо подали його з лінії,  яка знаходиться за 12 м від сітки, і м'яч летить по прямій.
6. Зображення дерева, віддаленого на 60 м від об`єктива фотоапарата , має на плівці висоту 8 мм. Відстань від об’єктива до зображення дорівнює 40мм. Яка висота дерева?
7. Ділянка, відведена під фруктовий, сад має форму трапеції. Дерева розташовані в 5 рядів на однаковій відстані один від одного. У всіх рядах відстань між сусідніми деревами однакова. В одному крайньому ряду 18 дерев, а в другому 26. Скільки дерев в кожному з останніх рядів?


Тема. Теореми косинусів і синусів.

1. О 7 годині ранку пасажирський літак вилетів з міста А. Після півгодинної зупинки в місті В о 8 годині 10 хвилин літак зробив поворот на 35 градусів  вправо та о 9 годині здійснив посадку в місті С. Знайти відстань між містами А та С, якщо середня швидкість літака на кожній ділянці польоту дорівнювала 320 км/год.

2. З двох пунктів А та В виїжджають одночасно два потяги відповідно у напрямах AD і ВЕ, що перетинаються в точці С під кутом 60 градусів. Обидва потяги рухаються рівномірно зі швидкістю відповідно 20 і 30 км/год. Через скільки годин з моменту їхнього відправлення відстань DE між ними дорівнюватиме початковій, якщо АС=50 км, ВР=40 км/годину?

3. Зі спостережного пункту помічають під кутом 63,5 градусів літак, що пролітає над вежею, висота якої 79,5 м. Пряма, що сполучає спостережний пункт із верхівкою вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 20 градусів 45 мінут. На якій висоті знаходиться літак?

4. З вертольота, що знаходиться над шосейною дорогою, було помічено колону машин, яка рухається по ній. Початок колони видно під кутом 75 градусів, а кінець – під кутом 70 градусів. Знайти довжину колони, якщо вертоліт знаходиться на висоті 1650  м.

5. Вершину гори з точки А  видно під кутом 38 градусів 42 мінути , а при наближенні до гори на  200 м вершину стало видно під кутом 42 градуси. Знайти висоту гори.

6. Дорога вгору піднімається двома уступами у вигляді ламаної лінії. Перший уступ утворює з горизонтом кут 30 градусів, другий – 65 градусів, а пряма, що сполучає вершину гори з її основою, нахилена до горизонту під кутом 60 градусів. Довжина першого уступу дорівнює  1 км. Знайти висоту гори.

7. Судно йде на схід зі швидкістю 12 вузлів. О 13 годині 10 хвилин азимут напрямку на маяк дорівнює 70 градусів, а о 13 годині 40 хвилин – 20 градусів. На якій відстані від судна знаходився маяк о 13 годині? (1 вузол відповідає 1 морській милі за годину)

8. Спостерігач знаходиться на відстані 50 м від вежі, висоту якої він хоче виміряти. Основу вежі він бачить під кутом 10 градусів  до горизонту, а вершину – під кутом 45 градусів до горизонту. Яка висота вежі?




9. У стіні шахти на однаковій висоті пробито два штреки, входи у які віддалені один від одного на 4 м. Перший штрек має довжину 350 м і
спрямований перпендикулярно до стіни. Довжина другого штреку 420 м, і він спрямований під кутом 125 градусів до стіни шахти. Кінці цих штреків сполучено третім штреком. Яка довжина третього штреку? У якому напрямку треба розмістити штрек від кінців даних штреків, якщо роботу треба починати з обох кінців одночасно?

10. Два теплоходи А і В, що знаходяться у відкритому морі на відстані  20км один від одного, одночасно отримали сигнал SOS з корабля С. Радіопеленг по відношенню до прямої АВ на судні А дорівнює 55 градусів, а на судні В – 80 градусів. Який теплохід першим прийде на допомогу, якщо максимальна швидкість судна А – 60 км/годину, а судна В – 45 км/годину?

11. Берегові маяки А і В розміщені на відстані 10 км один від одного. З теплоходу С, за допомогою радіолокаційної станції, що знаходиться на
ньому, визначені відстані до маяків АС=11 км і ВС=9 км. Знайдіть кути САВ і СВА пеленгів радіомаяків.

12. Знайти відстань від точки А, в якій знаходиться корабель в певний момент часу до маяка на березі, якщо з цієї точки видно маяк під кутом 60 градусів  до курсу, а через деякий час корабель буде знаходитися в точці В – на відстані 50 км від точки А, і з точки В даний маяк видно під кутом 110 градусів  до курсу корабля.

13. Знайти відстань від точки А до дерева, яке росте на другому березі річки, якщо з точки А видно це дерево під кутом 40 градусів  до лінії берега річки, а з точки В під кутом 50 градусів  і відстань між точками А і В дорівнює 20 м.

14. На горі стоїть вежа висотою 100 м. Біля підніжжя гори знаходиться одна людина. Інша спостерігає її спочатку з вершини вежі під кутом 60 градусів до горизонту, а потім з її основи під кутом 30 градусів. Знайти висоту гори.

15. Траса для велосипедистів має форму трикутника, два кути якого дорівнюють 50 градусів і 100 градусів. Меншу сторону цього трикутника один із велосипедистів проїжджає за 1 годину. За який час він проїде всю трасу? Відповідь дайте у годинах.




16. Футбольний м’яч знаходиться в точці А футбольного поля на відстані 23 м і 24 м від точок В і С відповідно. Футболіст направив м’яч у ворота. Знайдіть кут влучання м’яча у ворота, якщо ширина воріт 7 м.
                      
                                   
                               
 17. Знайти відстань між двома доступними пунктами, якщо між ними  безпосередньо вимірювання відстані неможливе.

                                 
                                                            
18. Знайти відстань між двома недоступними предметами В і С, що знахо­дяться на протилежних берегах річки, якщо АС=8м, С=35 градусів,А=70градусів.

                              
                         
19. На будівництві залізниці потрібно на ділянці АВ прокласти тунель . За даними на малюнку поясніть, як знайти довжину і напрям тунелю. Обчисліть довжину тунелю.
20. Два туристи вирушили по двох прямолінійних дорогах, які виходять з однієї точки під кутом F. Перший рухається зі швидкістю v1 км/годину, другий - v2 км/годину. Яка відстань буде між ними через t годин?




Тема. Площа круга та його частин.

1. Дерево має 1,884 м в обхваті. Чому дорівнює площа поперечного спилу, що має приблизно форму кола?

2. Вода тече по двох трубах із однаковою швидкістю. Перша труба має діаметр 20 см, а друга – 15 см. У скільки разів подача води з другої труби менша, ніж з першої?

3. Круглу клумбу, радіус якої 6 м, розділили на дві рівні частини колом, центр якого збігається з центром клумби. Чому дорівнює радіус цього кола?

4. Дві труби, внутрішні діаметри яких дорівнюють 15 мм і 25 мм, потрібно замінити однією, не змінюючи їхньої пропускної здатності. Яким має бути внутрішній діаметр нової труби?

5. Два прожектори розміщені один напроти іншого на прямолінійних паралельних протилежних берегах ріки. Відстань між прожекторами дорівнює 12 км. Прожектори можуть освітлювати місцевість радіусом 10 км кожний. Чому дорівнює площа поверхні ріки, освітлюваної цими прожекторами?

Тема. Довжина кола.

1. Ведуче колесо паровоза робить 6 об/с, діаметр колеса 120 см. Знайти швидкість паровоза.

2. Піднімаючи воду з колодязя, вал робить 18 оборотів. Обчислити глибину колодязя, якщо діаметр вала 20 см.

3. Довжина хвилинної стрілки на Спаській вежі Московського Кремля 3м 27см. Який шлях пробігає її кінець за 1 хвилину?

4. З жерсті зробили одну трубу діаметром 18 см і три однакові труби тієї самої довжини. Обчислити радіус менших труб.

5. Діаметри коліс трактора дорівнюють 75 і 90 см. Який шлях пройде трактор, якщо на цьому шляху переднє колесо робить на 230 обертів більше, ніж заднє?

6. Довжина орбіти автоматичної космічної станції «Салют» дорівнює 41500км. Вважаючи орбіту круговою, знайдіть висоту станції над Землею, якщо радіус Землі 6370 км.


7. Тунель циліндричної форми, що має діаметр 135 см і глибину 380 м, треба викласти цеглою. Скільки цеглин для цього буде потрібно, якщо розмір цегли 25 см х 12 см х 6,5 см?

8. Припустимо, що земну кулю та футбольний м’яч обтягнуто по екватору обручами. Якщо в обох випадках збільшити довжину обручів на 1 м і розмістити знову обручі на однаковій відстані від поверхні об’єктів, то утворяться зазори. У якому випадку більший?

9. За два обороти по круговій орбіті навколо Землі космічний корабель пролетів 84152 км. На якій висоті над поверхнею Землі знаходиться корабель, якщо радіус Землі 6370 км?

10. Знайти довжину маятника стінного годинника, якщо кут його коливання становить 38 градусів, а довжина дуги, що описує кінець маятника, дорівнює 24 см?

11. Теплоход пройшов 1413 м. Знайти діаметр колеса, якщо воно зробило 300 обертів.

 12. Радіус заокруглення шляху залізничного полотна дорівнює 5 км, а довжина дуги заокруглення – 400 м. Яка градусна міра дуги заокруглення.

13. По колу потрібно розмістити центри отворів для 15 болтів так, щоб відстань між центрами отворів дорівнювало 30 мм. Знайдіть довжину радіуса кола.

                                        9 клас (алгебра)

Тема.  Арифметична і геометрична прогресії.

1. Матір дарує кожній із 5 своїх дочок в день її народження, починаючи з 5 років, стільки книжок, скільки доньці років. Вік 5 дочок утворює арифметичну прогресію, різниця якої дорівнює 2. Скільки років було кожній доньці, коли у їх бібліотеці загальна кількість книжок 145?

2. Уявімо, що на початку нашої ери жінка М народила дві доньки, кожна з них до 30 років народила теж дві доньки і т. д. Чи можливо це? Скільки б за таких умов нащадків М жило б у наш час?

3. Кількість еритроцитів (з розрахунку на 1 мм3) в крові людини становить на рівні моря – 5 мільйонів. Яка кількість еритроцитів буде в крові людини, якщо вона підніметься на вершину гори Еверест (4800 м)? Чому це відбувається?
4. У амфітеатрі у першому ряді 8 місць, а в кожному наступному – на 4 місця більше, ніж у попередньому. Скільки рядів у амфітеатрі, якщо всього місць 680?

5. У горах температура повітря літом при підніманні на кожні 100 м в середньому знижується на 0,7 градусів по Цельсію. Об 11 годині на горі термометр показував 14,8 градусів по Цельсію. На якій висоті знаходиться спостерігач, якщо біля підніжжя в цей час температура 26 градусів по Цельсію?

6. Залізний стержень, довжина якого при 0 градусів по Цельсію  дорівнює 1м, змінює свою довжину по закону арифметичної прогресії з різницею 0,000012м при послідовних змінах температури на 1 градус по Цельсію. Знайти довжину стержня при 100 градусах по Цельсію.

7. Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну – на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

8. Робітник обслуговує 16 верстатів-автоматів. Перший верстат робітник запустив о 8 годині (початок зміни), а кожний наступний на 2 хвилини пізніше. Визначити в метрах об’єм продукції, зробленої за семигодинну зміну, якщо продуктивність кожного верстата дорівнює  а м/годину.

9. Легенда. Ще на початку нашої ери індійський цар Шерлам покликав до себе винахідника гри у шахи, свого підданого Сету , щоб нагородити його за кмітливу вигадку. Сета попросив за першу клітинку шахової дошки дати
йому одну зернину пшениці, за другу – дві зернини, за третю – чотири і т. д. Цар здивувався, що винахідник так мало просить, але виявилося, що цар не зміг виконати прохання винахідника. Чому?

10.Вклади населення України в комерційних банках з 1995 року в національній валюті кожного року збільшуються приблизно в 2 рази, а у іноземній валюті – в 1,5 рази. В 1995 році вклади населення в комерційних банках в національній валюті становили 505 млн. грн., а в іноземній – 111 млн. грн.. Чи буде загальна кількість вкладів утворювати геометричну прогресію, і якщо так, то який у неї буде знаменник?

11. Язиката Хвеська протягом місяця (31 день) щодня розповідає у сільському клубі анекдоти про політику. Через  утому кожного наступного дня кількість анекдотів на 2 менша, ніж попереднього. Скільки анекдотів почули від Хвеськи односельці, якщо першого дня вона розказала їх рівно 100?

12. Котигорошко бився із Змієм. Але не знав, що кожного разу, коли він відрубував голови Змія, у того на місці зрубаної голови виростає три нових. Після трьох «підходів» на полі битви залишилися лежати 52 зрубані голови. Скільки голів було у Змія на початку битви?

13. Сержант Петро Цікавий, демобілізувавшись із армії, влаштувався на роботу в ДАІ. Щоб завоювати авторитет, він вирішив щокварталу збільшувати кількість виявлених порушників на одну й ту саму кількість відсотків. У першому кварталі Цікавий виявив 600 порушників, а у третьому – 726.  Скільки водіїв згадували сержанта «незлим тихим словом» у другому кварталі?

14. Роман про Гаррі Поттера має 480 сторінок. Купуючи Петрику книгу, батьки порадили йому читати щодня однакову кількість сторінок. Петрик виконав їх пораду, але щоночі читав додаткові 20 сторінок під ковдрою з ліхтариком, тому дочитав роман на 2 дні раніше запланованого терміну. Скільки днів Петрик читав роман?

15. Зграя хробаків запланувала поласувати кукурудзою на площі 120 га протягом певного часу. Однак, через посилення апетиту, хробаки з’їдали кукурудзу щодня на площі на 4 га більшій, ніж планували, і закінчили поїдання на 1 день раніше. Протягом скількох днів хробаки ласували кукурудзою?

16. Корпорація «КиївКрутоБуд» будує комфортабельні багатоповерхові будинки у центрі міста на дитячих майданчиках та у скверах. При цьому кожен наступний будинок ( крім шостого) в 1,05 раза вищий за попередній. Перший будинок мав висоту 10 м. Шостим був хмарочос, висота якого дорівнювала сумі висот першого та п’ятого будинків. Якої висоти був хмарочос?

Тема. Лінійні нерівності і системи нерівностей з однією змінною.

1. Фермерське господарство мало засіяти 600га поля не більше як за 8 днів. Яку площу щодня має засівати колгосп?

2. Земельна ділянка для загону худоби має прямокутну форму. Одна
сторона дорівнює 60м. Якою повинна бути друга сторона, щоб вистачило огорожі  довжиною 215м?

3. Змішали 24кг одного товару і 20кг другого. Кілограм першого товару
коштує 4,6грн., а 1кг суміші більше 4,4грн., але менше 4,8грн. Яка вартість
другого товару?

4. Родина планує отримати від власного вирощування та продажу картоплі дохід у розмірі 600 гривень. Яку кількість урожаю потрібно зібрати, якщо на рік для всієї родини потрібно 200 кг картоплі, а на ринку картоплю можна продати за ціною 1гривня 20 копійок за 1 кілограм?

5. Витрати на перевезення одного й того ж вантажу двома різними видами транспорту обчислюються за формулами У1=100+40х, у2=200+20х, де х - відстань в сотнях кілометрів, у- вартість перевезення в гривнах. Знайти починаючи з якої відстані більш економніше стає другий вид транспорту.

6. Дохід від заробітної плати в родині у 1999 році складав 450 гривень на місяць. Заробітна плата батька відноситься до заробітної плати матері як 3:2. Знайти в яких галузях економіки працюють батьки, використовуючи дані наведені в таблиці.

Галузі економіки                  Середня заробітна плата, грн

Сільське господарство         100,0
Торгівля                                 180,0
Будівництво                           211,0 
Промисловість                       217,0
Зв’язок                                    260,0
Річковий транспорт               270,0

При розв’язуванні цієї задачі розглядаються два випадки: 

а) заробітну плату в родині отримують лише батьки; 
Тоді задача розв’язується складанням лінійного рівняння:
                                    3х+2х=450;
б) дохід родини залежить не лише від заробітної плати батька і матері (наприклад, заробітну плату отримує ще й син).

У цьому випадку для відшукання відповіді розглядається нерівність:
                                    3х+2х<450.

7. Два катера з однаковою власною швидкістю проходять по двом річкам однакові відстані за течією і повертаються назад. В якій річці на це переміщення потрібно більше часу: в річці з більшою течією чи в річці з меншою течією?

8.Теплохід пройшов шлях за течією і назад. Довести, що середня швидкість теплохода при такому русі менша його власній швидкості (власну швидкість і швидкість течії вважати постійними).

9. Визначити, на яку суму варто застрахувати майно, якщо вартісна оцінка квартири становить 12 000 умовних одиниць, можлива сума збитків 10 000 у.о., а страхове відшкодування повинно бути більше за 8 000 у. о.
Складаємо нерівність: 12 000 Ч (S/10 000) > 8 000 за формулою Т(S/W) >Q,
де Q – страхове відшкодування ,
     S – страхова сума за угодою (страховий внесок),
     T – вартісна оцінка об’єкта страхування,
    W – фактична сума збитків
Звідси маємо: S/10 000 > 2/3; S > 6 666,(6).
Тема. Квадратична функція.
Відповідь: бажано застрахувати більше, ніж на 6667 у. о.
1. Кількість бактерій N у деякій біомасі змінюється за законом N(t)=500+54t+2t2. Скільки бактерій було в біомасі на початку? Яка швидкість росту, якщо t=4хв?

2. З башти пустили вгору стрілу з лука. Якщо початкова швидкість стріли дорівнює 50 м/с, висота башти 20 м, t – час польоту стріли(в секундах), то відстань h (у метрах) стріли від поверхні землі можна знайти за формулою h=-5t2+50t+20 (вважати, що наближене значення прискорення вільного падіння дорівнює 10 м/с2). Якої найбільшої висоти досягне стріла? 

3. Економісти одного з підприємств встановили, що витрати на виготовлення х одиниць виробів визначаються за формулою  у = 0,1х2 – 4х+6. Знайти:

а)  при якій кількості виготовлення виробів підприємство матиме,
          найменші витрати;
          б) приріст витрат, коли кількість виробів зросла з 40 одиниць
          до 50 одиниць;
в)  середні витрати на виготовлення кожної одиниці виробу, коли їх
          кількість зросла з 40 до 50 одиниць.

Тема. Формули складних відсотків.

1. Гетьман Полуботок у 1723р. поклав до англійського банку великий капітал з України під 4% річних. У скільки разів збільшився б той капітал до 2014 року?

 


2. У автогосподарстві для кожної моделі автомобілів встановлена ​​норма зносу. У "Волги" вона становить 11,1% на рік. Який термін служби цього автомобіля?

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Сообщения (Atom)