Математична скринька

        Математична скринька

    Математичні казки

     для учнів 6-го класу

Казковий світ математики

Щоб підвищити продуктивність навчальної діяльності слід створити на уроках математики ситуації, в яких можна звернутись до дитячої уяви, використовуючи притаманний дітям потяг до гри і фантазії.

Кому не хочеться помандрувати таємничим островом чисел-координат і відшукати прихований скарб? Виготовлення карти не менш цікаве і захоплююче заняття, ніж відшукання самого скарбу. Або перемогти Казкового Змія, Бабу-Ягу, швидко і правильно розв*язуючи всі завдання, які приготували вони для бою? Чи врятувати Сплячу Красуню, красномовно і повно даючи відповіді на запитання? Або зустріти чарівника –Модуля, який всі від*ємні числа перетворює на додатні? І цей перелік можна продовжувати, «запрошуючи» улюблених героїв до роботи на уроці. Адже кожна дитина з раннього віку звикла до казок, де добро перемагає зло, що вселяє віру та впевненість у себе. А незвичне формулювання завдання зміщує акцент у навчальній роботі, стимулює навчальний процес, збуджує інтерес дитини, захоплює.

Пригоди в дільниковому

Луна- парку

Одного разу натуральні числа – мешканці міста Натуралівська побачили скрізь яскраві афіші:

Любі друзі!

У вас є шанс

Нас відвідати хоч раз.

Атракціони

Пречудові.

А ви прийти до нас готові?

Розваг багато на вас чекає.

Кращого парку у світі немає!

Найкмітливіші й ті, хто добре знав додавання, здогадалися не лише прочитати афішу, а й «додати» перші букви в рядках, тобто скласти з них слова. Про своє «відкриття» вони сказали іншим і згодом усі з нетерпінням чекали приїзду Луна-парку. І ось нарешті цей день прийшов. Директор парку запросив відвідувачів до різноманітних атракціонів.

- А скільки коштують квитки на атракціони? – запитав хтось із відвідувачів.

- Усі розваги в нас безкоштовні.

- Оце здорово! Ура! – почулися вигуки, а хтось сказав: - Чудово, ми на всіх-всіх атракціонах покатаємося.

Директор, напевно, почув це і зауважив:

- Хоч атракціони і безкоштовні, проте кожне число може користуватися лише тим , який для нього призначено. Втім самі побачите.

- А якщо я прийду на «чужий» атракціон? – не вгамовувався цей «хтось».

- Тоді атракціон не спрацює, може навіть зламатися.

- Ні, ні, ми будемо користуватися тільки «своїми» розвагами, - злякалися відвідувачі.

- Що ж до розваг!

Разом з іншими до парку прийшли й друзі – числа 1, 4, 5. Перше, що вони побачили – чудовий «Автодром простих чисел». На маленьких і гарних, неначе іграшкових, автомобільчиках було написано прості числа. Зрозуміло, що кожний відвідувач повинен був сідати тільки в автомобіль зі «своїм» номером. П*ятірка відразу помітила автомобіль з яскравою цифрою «5», сіла в нього і поїхала.

- А мені можна покататися, чи ні? – турбувалося число 157. Я не помічаю автомобіля зі «своїм» номером. Може це тому, що я не просте число?

- І  я теж,- вигукнуло число 357. – Як  нам бути? Може , тут не всі автомобілі для простих чисел?

- Звичайно, не всі, - відповів працівник атракціону.

- Простих чисел нескінченно багато, тому частина автомобілів не тут, а в гаражі, але я можу їх будь-якого моменту викликати.

То викликайте, будь ласка! – попросили 157 і 357.

- А ви прості числа?

- Не знаємо… Може, прості, а може , й ні…

- Соромно не знати цього. Просте число має тільки два дільники: 1 і самого себе. Якщо ви маєте ще інший дільник, то ви число не просте, а складене. Але шукати інші дільники не обов*язково: можна скористатися таблицею простих чисел, якщо ви там є – ви прості, а якщо вас немає – складені.

Подивившись на таблицю, на яку досі вони не звернули уваги, 157 і 357 побачили, що перше з них там є, а другого немає.

- Отже, я не просте, а… як ви сказали? Складене? – міркувало 357. – А я де зможу покататися?

- До ваших послуг є залізниця складених чисел, - відповів працівник атракціону і раптом скрикнув:

- Стійте! А ви куди? Ви не просто число, а складене. Ви не маєте права сюди сідати!

Це стосувалося числа 9999, яке вже сідало в автомобіль.

- Чому це не маю права? Дивіться, на автомобілі написано моє ім*я – 9999.

- Це не 9999, а частина простого числа 9999991! Обійдіть автомобіль і переконайтеся, просто з одного його боку цифрам місця не вистачило.

 Все одно, я просте число, мене ж у таблиці немає! Давайте інший автомобіль з «моїм» номером!

- Подивіться уважно, це тільки перша сторінка таблиці – прості числа до 997. А ви число більше, тому на іншій сторінці. Та й без таблиці, за ознаками подільності видно, що ви ділитеся і на 3, і на 9. Вам краще не гаяти часу, а піти до залізниці складених чисел і покататися досхочу.

Поки відбувалася ця розмова одиничка розміркувала – просте вона число чи ні? Вирішила, що не просте, адже має не два дільники, а тільки один. І разом з непростими числами 4 і 18 вона попрямувала до залізниці слідом за числом 9999, яке щось незадоволено бурчало.

Ось і залізниця з категоричними оголошеннями: «Тільки для складених чисел». От паровозики з вагончиками. Але що таке? На жодному вагончику не написано ні 18, ні 4… і взагалі на вагончиках написані тільки прості числа… У чому справа?

Виявилося, що перед тим як шукати свій потяг, складене число повинно розкластися на прості множники, а потім шукати потяг за «своїм» розкладом.

Розкладатися на множники було дуже цікаво: біля залізниці стояв величезний батут і під час стрибків на ньому складене число розкладалося на прості множники.

Першим на батут вийшло число 15. Один стрибок – і замість нього вже Трійка і П*ятірка; вони швидко пробігають через вихід з написом «для простих множників», відшукують потяг з вагончиками «3» і «5» і від*їжджають від станції.

Число 18 теж стало на батут і стрибнуло. Воно «розпалося» на 2 і 9. Двійка пробігла через вихід, а Дев*ятка пройти не змогла.

- Це тому, що ти не просте, а складене. Стрибай далі, - пояснили їй.

Стрибнувши другий раз, Дев*ятка перетворилася на дві Трійки. І всі прості множники – Двійка  та дві Трійки побігли до залізниці. Потяг їм дістався ось який: один вагончик звичайний, із цифрою «2», а другий – особливий, двоповерховий, і на кожному – по цифрі «3».(Це тому, що 18=2∙3∙3).

А в черзі до батута вже стояло невдоволене число 9999 (подумай, на які множники воно розкладалося і до якого потягу сіло).

Одиничка залишилася одна. «Прості» її друзі були на автодромі, «складені» - на залізниці, а вона залишилася сама-самісінька, без розваг, оскільки була числом ні простим, ні складеним. Їй було дуже сумно і неприємно, хотілося плакати.

Що ж сталося далі?

 До сумної одинички підійшла її подруга Четвірка, яка вже встигла покататися на залізниці. Вона зрозумілі, у чому справа.

- Не плач! Зараз щось придумаємо.

Вона відійшла, і через хвилину повернулася, тримаючи в руках величезний плюс.

- Додавай додамося1

Як відомо, 4=1=5, це просте число, можна кататися на автодромі досхочу. Друзі так і зробили.

Потім вони повернулися до свого попереднього вигляду, а плюс повернули так, що він перетворився на знак множення.

Вийшло ось що:4×1=4 (складене число).

- Дякую тобі, мені тепер так весело, - сказала Одиничка Четвірці, коли вони знову повернулися до свого вигляду.

Але раптом почувся суворий голос директора:

- Так робити не можна! Користуватися знаками дій у нас заборонено. Ви покаталися на «чужих» атракціонах. Це несправедливо.

- А те, що Одиничці взагалі не було на чому  кататися, хіба це справедливо? – хоробро відповіла Четвірка. – Ви самі казали, що для кожного числа в парку є розваги, а для Одинички нічого не знайшлося. Це зовсім несправедливо!

- А ви увесь парк обійшли? – поцікавився директор.

- Ні.

- Тоді не робіть висновки. Запрошую вас відвідати дільникові каруселі.

І директор відвів Одиничку з Четвіркою до іншої частини парку, перед якою було встановлено афішу:

Дільникові каруселі -

І чудові, і веселі!

Не минайте,

Завітайте

Ви до нашої оселі!

Дільникових каруселей було дуже багато (подумайте, чому). Були і маленькі, і на 2 місця (подумайте, для яких чисел вони призначалися). Центральне (почесне) місце в кожній каруселі займав її хазяїн (число), а решту місць – його дільники – і прості, і складені. Але було на кожній каруселі ще одне почесне місце – для універсального дільника.

Ви, напевне, здогадалися, що цим універсальним дільником був не хто інший, як Одиничка, адже всі натуральні числа діляться на 1 без остачі.

- Тепер ти згодна, що ми справедливі в ставленні до Одинички? – запитав Четвірку директор.

Четвірка погодилась, але зауважила, що було краще, якби кожне число з самого початку знало, які розваги його чекають, тоді б ніхто не почувався ображеним.

- Можливо, ти й права, - сказав директор. – Зробимо біля виходу до парку карту-схему. Я думаю, що нашим гостям це сподобається. Дякую за пораду.

************************************

Ми вивчаєм дріб звичайний

Ми вивчаєм дріб звичайний,

Фантазуєм надзвичайно:

Куди погляд наш впаде -

Загадкове щось знайде.

«З» - знаменник мов Земля,

І для нас внизу вона;

Риска – дія ділення,

А не проста лінія.

Дріб, мов щедрий чоловік,

Дарувати усе звик:

Ділить вправно все знаменник,

Роздава усім чисельник.

З дробом будемо дружити,

Математику любити.

Вправи будуть гартувати,

Ми – розумними зростати.

А як дроби додаємо –

Всі чисельники візьмемо,

Непорушна лиш «Земля»,

Бо для всіх одна вона.

Дроби віднімаємо –

Добре пам*ятаємо:

Віднімемо чисельники,

Не змінимо знаменники.

Дуже любимо ці справи,

Наче іграшки, забави.

Мозок свій тренуємо,

Числа всі шануємо:

Мішані, неправильні –

Всі обчислем правильно!

Чітко відповідь даємо –

Перевагу надаємо

Дробу нескоротному,

Правильному «доброму».

Ну-мо діти пригадайте

І загадки розгадайте.

Чисельник множим на знаменник,

А знаменник на знаменник,

З результатом йдемо вкрок,

Бо ми маєм …(добуток).

Якщо перший дріб візьмемо

А другий враз перевернемо,-

Маєм добуток, а не казку,

А спочатку була … (частка).

************************************

Про скорочення дробів

Чисельник із знаменником

Спочатку добре жили,

Чисельник зі знаменником

Співали та дружили.

Та якось відшукався

Спільний дільник у них

І приводом для сварки

Відразу стати встиг.

Ніхто дільник цей спільний

Другому не дає,

І кожний вимагає:

- Віддай, бо то – моє!

Премудра Одиниця

Сказала: «Не сваріться,

А на дільник цей спільний

Візьміть і поділіться»

Послухались поради

І поділились радо.

Відразу стало тихо -

Минуло сварки лихо.

Але недовго мирні

Відносини тривали,

Бо інший дільник спільний

У себе відшукали.

Все почалось спочатку:

Сварились та ділились,

Все знову так і знову,

Аж поки не втомились.

На щастя, в результаті

Дріб нескоротним став,

Період життя мирного

У нього знов настав.

А можна і відразу

Скорочення зробити,

То ж поміркуйте, друзі

На що треба ділити?    

************************************

 Як утворилися мішані числа

Родина натуральних чисел і родина дробових чисел жили в мирі і злагоді. Та деякі Натуральні числа почали чіплятися до Дробових і слово вигадали образливе: «чехардашки» - за те, що дроби з*явилися під час гри в «Чехарду». І от зібралися Звичайні дроби на екстрені збори.

- Та хто вони такі, ці Натуральні числа?! Подумаєш, наші батьки, вони нас утворили!.. Усі батьки мають дітей, але допомагають їм, а не ображають, - казав один дріб.

Та ми кращі за них! – казав другий Дріб, - натуральні числа мають одне значення, а ми багато.

- Як це може бути? – запитав перший дріб, - я не розумію.

 І ми не розуміємо, - підтримали інші.

- А ось так: усі Натуральні числа показують, скільки у них одиниць і це значення тільки одне, а ми, Звичайні дроби, можемо одне і те саме число записати багатьма способами. Наприклад:

          ½=8/16=13/26=100/200…

-Слухайте, братці! Звідси виходить, що ми, Звичайні дроби, можемо обійтися без  Натуральних чисел, - зробив висновок Правильний дріб.

Слід нагадати, що серед звичайних дробів були Правильні і Неправильні. Коли грали в «Чехарду», то перші дробові числа одержали, коли  маленьке число не змогло перестрибнути через велике, отже, вийшли Дроби, у яких чисельник менший від знаменника. Їх назвали Правильними дробами. А потім Натуральні числа перевернули правильні дроби, і от ці нові дроби стали називати неправильними дробами. Пізніше до неправильних дробів записали і дроби, у яких чисельник дорівнює знаменнику . (Це довідка про звичайні дроби). Послухаємо, як пішла далі розмова на зборах.

- Як можна обійтися без Натуральних чисел? - не зрозумів другий Дріб, теж Правильний.

- Ти нерозумний Дріб, хоча і Правильний. Подивися на Неправильні дроби. Коли їх утворили, то не звернули уваги, що є випадки, коли чисельник націло ділиться на знаменник. Наприклад: 8/4, 9/3.

- Почекай! Я зрозумів: у відповіді виходить натуральне число. От, голова! От, розумник! - похвалив свого брата правильний дріб.

- Ура! – загукали всі звичайні дроби. Вони взялися за свої руки-риски і почали весело танцювати.

                          

- Ось де у нас Натуральні числа, - промовив Неправильний дріб і стиснув риску у кулак. – Не ми від вас, а ви від нас залежите.

- Війну Натуральним числам!

- Війну! Війну! – лунало з усіх сторін.

Дроби кричали так, що самі перелякалися своїх гасел. Чому? Виходило, що потрібно починати війну, а війна ще ніколи не приводила до добра. І ще кожен розумів, що це буде війна серед них, Звичайних дробів, між Чисельниками і Знаменниками, які були натуральними числами. Тихше і тихше лунали гасла, поки зовсім не припинилися.

І тоді вийшов на трибуну Неправильний дріб, у якого чисельник і знаменник були однакові, та запропонував:

- Нам не воювати потрібно, як вирішили дроби, і не дражнитися, як Натуральні числа, а дружити. Разом , дружно, можна зробити набагато більше. Треба жити однією родиною. Нехай будуть і Цілі числа і Дробові, бо не можна нам жити одні без одних. І нехай ще будуть Мішані числа.

- Як це розуміти, Мішані? – запитали дроби.

- Це числа, у яких є ціла частина і дробова. Частини записуються разом, додаються, але знак додавання між ними не пишеться. І щоб не було плутанини, додаються тільки правильні дроби.

- Це цікаво! – сказали Неправильні дроби, - а ми не потрібні? Ми не корисні в цьому випадку?

- Ви не зрозуміли! З вас самих можна зробити мішані числа, якщо чисельник поділити на знаменник.

- Не розуміємо, - знову сказали неправильні дроби.

- Усе просто, - пояснила П*ятірка, записана у вигляді Неправильного дробу, ось приклад: 8 поділити на 3. (8:3=2(остача2)). Це означає, що 8/3=2 2/3.

- Як це гарно! Як цікаво! І нам робота знайдеться, - раділи неправильні дроби.

Так почалася дружба між Натуральними числами і Звичайними дробами. Вони плідно працювали разом. Разом гралися, тільки гру «Чехарда»  забули, щоб більше не було сварок.

********************************

 

Казка про правильні та      неправильні дроби

Було це у місті Дроб*янську, де жили звичайні дроби, а серед них – дріб ½ , або Половина (таке ім*я Одній другій більше подобалося). А не подобалося їй, коли про неї говорили «звичайний дріб». Половина вважала себе аж ніяк не звичайним дробом, а зовсім особливим.

- «Хіба я звичайний дріб? – говорила вона. – Зовсім ні! У мене навіть особливе – Половина! У звичайних дробів другого імені не буває, а в мене є!»

А коли 1/3 якось несміливо заперечила , що в неї є друге ім*я – Третина, то Половина заявила, що це зовсім інша річ. Одна третя і Третина – це майже одне й те саме, а ось Одна друга і Половина – це абсолютно різні імена. «Так що це ви звичайні, а особлива лише я!» - хизувалася вона.

Проте такої «особливості» виявилося для неї недостатньою половина чомусь вирішила, що вона більша за всі інші дроби і зібралася довести їм це.

Покликавши до себе в гості дроби 1/4, 1/5, і 1/8, вона поставила перед ними на стіл однакового розміру торти, порізані на 2, 4, 5 і 8 частин та взяла з кожного торта по 1 частині (тобто ½, ¼, 1/5 і 1/8 від торта).

«Самі бачите, що я, ½, більша за всіх вас і взагалі за всі ваші дроби. А тому всі мене повинні слухатись. Я – наймудріша і найголовніша!»

Іншим дробам це не дуже сподобалося… Одна п*ята подумала-подумала, і показала туди, де залишилася решта торта, поділеного на 5 частин після того, як забрали одну частину.

«Дивись, там залишилося 4/5 торта.

Порівняймо, - це ж більше ніж ½! Тож Чотири п*ятих більше за тебе , Половино».

Половина змушена була погодитись, але все одно знайшла що відповісти:

«Ну й що, але ж я найбільша з усіх дробів, які мають чисельником одиницю!»

Тут уже ніхто не міг заперечувати. Мовчки інші дроби попили чай із тортом і розійшлися по домівках…

Половина виявилася не вгамованою. Вона продовжувала хизуватися і своїм «подвійним» іменем, і тим, що більша за всі інші дроби з чисельником! А коли до неї підійшов дріб 1/1 і сказав, що він більший від неї, то ½ з пихатістю відповіла: «А це ще нічого не означає. Ти взагалі не справжній дріб, оскільки 1/1 – це все одно що Одиниця. Ти – дріб не правильний!»

«Як це – неправильний?»

«А ось так! «Слово дріб» - походить від «дрібний», тобто маленький. Усі дроби, менші від 1 – це правильні, хороші, справжні дроби. А інші – несправжні, неправильні. З ними, неправильними, і дружити не слід».

Ця розмова дала дробам інформацію для роздумів. І справді, дріб нібито не повинен бути великим числом… У всякому разі дробам, меншим за 1, сподобалося, що вони «правильніші» від інших, і вони почали  зневажати «неправильні» дроби. Ті спочатку образилися, а згодом вирішили: «Ну то що ж із того, що ми «неправильні? Зате ми більші!»

Так відбулося відмежування між Правильними  і Неправильними дробами. Згодом Правильні дроби побудували собі будинки на Числовому промені між Нулем і Одиницею. Половина пишалася тим, що її будинок був посередині.

«Я мешкаю в самому центрі! Тепер ви бачите, що я – зовсім особливий дріб?» - вигукнула вона.

Але незабаром це перестало бути предметом її гордощів, оскільки Неправильні дроби теж побудували собі гарненькі будинки праворуч від Одиниці. Та ще й як побудували! Дроби, які могли перетворюватися в Натуральне число через те, що їх чисельник ділився без остачі на знаменник, побудували двоповерхові будинки на однакових відстанях один від одного, пронумерували їх натуральними числами в порядку зростання, а інші Неправильні дроби оселилися в одноповерхових будиночках між ними. Більші Числа оселилися праворуч, менші – ліворуч, а щоб легше було знайти свої місця, Неправильні дроби перетворилися і Мішані числа. Місця на числовому промені було достатньо (а знаєте чому? Адже промінь не має кінця) і всім вистачило.

Однак числам було не зручно відвідувати своїх дальніх родичів, а тому вони побудували вздовж променя залізницю та шосе, і згодом усі Неправильні дроби стали завзятими туристами. За правилами числового туризму Числа з однаковими цілими частинами ходили одне до одного в гості пішки, а Числа з різними частинами користувалися транспортом.

Дуже полюбляли відвідувати одне одного Числа з однаковими дробовими частинами (наприклад, 3 2/7 і  5 2/7).

Як бачите життя Неправильних дробів виявилося досить цікавим, набагато цікавішим, ніж у Правильних дробів. Ті вже почали потроху заздрити і вести розмови про те, що не варто було відмежовуватися і краще б усім жити в злагоді… Їм уже набрид обмежений світ Одиничного відрізка між Нулем і Одиницею, хотілося подорожувати, знайти нових друзів, але Одиниця не пропускала їх на територію Неправильних дробів, оскільки пам*ятала, як її образили…

Минув час, образи потроху забулися, і всі Дроби знову почали дружити та спілкуватися. Ось тоді найдопитливіших почало турбувати питання: цікаво, а що там, лівіше від Нуля? Чому праворуч можна рухатися скільки завгодно, а ліворуч – лише до Нуля?

Але це вже інша проблема та інша казка.     

********************************         

Як звичайні дроби із десятковими сперечалися

Одного разу звичайні та десяткові дроби проводили змагання з футболу. Результатом виявилася нічия, але футболісти ніяк не могли заспокоїтися і розійтися: їм конче потрібно було з*ясувати – яка команда краща.

Команда «Кома» (десяткові дроби) вихвалялася:

- Ми такі гарні! Нас записують в один рядочок. Ми ще  дуже економні, бо у багатьох випадках нас можна записати меншою кількістю знаків, ніж відповідний звичайний дріб. Ось, наприклад, десятковий дріб 0,123 має п*ять знаків, включаючи кому, а звичайний    123 – 8 знаків,

                               1000             включаючи риску.

Команда «Риска» (а це, як ви здогадалися, були звичайні дроби), заперечувала:

- Зате нас легше читати! Ось порівняйте: 0,000003 і  3         

              1000000.  Другий дріб прочитати    легше.

Десяткові дроби сказали: «Нас легше додавати, віднімати й порівнювати, ніж вас». А звичайні відповіли: «Зате при діленні ми даємо завжди точний результат, а ви – інколи наближений».

Десяткові дроби думали-думали і сказали: «Нас частіше використовують, бо ми пов*язані з десятковою системою числення, з таблицями мір».

А звичайні дроби відразу почали хизуватися своєю основною властивістю, якої, як відомо, немає в десяткових дробів. Проте десяткові, як виявилося, теж мали чудову властивість – від дописування до них справа будь-якої кількості нулів їх величина не змінювалась.

                           

Нарешті звичайні дроби заявили:

- З нашою допомогою можна записати будь-які частини. А не тільки десяті. Соті і так далі. Ми могутніші!

Цей аргумент. Певно, переконав десяткові дроби і змусив декого позаздрити звичайним, бо якийсь десятковий дріб вигукнув:

- Ну й що! А я ось зараз візьму і перетворюся у звичайний!

І не встигла команда «Риска» відповісти, як поруч не було жодного десяткового дробу - всі, уявіть собі, перетворились на звичайні. Ще й вихвалялися: «Ось як ми вміємо!»

- Як так, то ми теж можемо перетворитися на десяткові! Ми від вас не гірші!

І чисельники почали швидко ділитися на знаменники. У декого перетворення відбулося швидко, а ось у дробів 2/3, 13/99 справа затяглася.

- Зачекайте, ми швидко… Зараз поділимось…

Але команда «Кома» підсміхалася:

- Ніколи, ніколи не закінчиться ділення… Хіба ти, 2/3, не бачиш, що при діленні завжди виходить у частці 6, в остачі 2 і це без кінця?

2/3=0,666..

Те саме з дробом 13/99: 13/99=0,131313…

Та нічого у дробів-невдах не вийшло б,

Якби не прийшов на допомогу тренер команди «Кома» майстер спорту пан Десятковець. Він приніс спеціальну машинку, схожу на м*ясорубку, і почав перекручувати в ній дроби. Спочатку дріб 2/3. З  отвору з*явився нуль, потім кома, а далі…далі не цифра зовсім, а кругленька дужка, ось така (. Не встигли дроби здивуватися, як з*явилася цифра 6, а там і друга дужка:). І вийшло:2/3=0,(6).

Усі були здивовані: чому цифра 6 у дужках? І тренер  пояснив, що вона тепер не просто цифра, а період, а 0,(6) – це періодичний дріб. Побачивши це, дріб 13/99 швидко стрибнув у машинку і перетворився на 0,(13).

Незабаром не залишилося поруч жодного звичайного дробу. Всі (і гравці, і болільники) перетворилися у десяткові – або скінченні, або періодичні. Періодичні так хизувалися своїми періодами, що скінченні позаздрили і теж здобули собі період – число нуль. Ось так 0,2=0,2(0). Хоча тренер сказав, що це зайве, вони не бажали розлучатись зі своєю новою прикрасою.

Врешті-врешт дріб 0,(5) викрикнув:

- Ой, я не пам*ятаю, хто я!... Я був звичайним дробом, але яким? Не пригадаю… А ваша машинка – вона може повернути

мені початковий вигляд?

- Машинка не зможе, але я можу, - відповів пан Десятковець. – Зможеш і ти, треба тільки знати правило. Ось слухай: який в тебе період?

- П*ять.

- Твій чисельник – це число5. а скільки цифр ти маєш у періоді?

- Одну…

- Твоїм знаменником буде одна дев*ята. Згадав, хто ти?

Так, я дріб 5/9! А мій друг 0,(123) – він хто?

За цим самим правилом він число 123/999, але, щоб набути попереднього, гарного вигляду, треба його скоротити.

То що, так можна кожний періодичний дріб відразу перетворити у звичайний?

- Не кожний, а тільки чистий періодичний. Зрозуміло?

- Зрозуміло… Чистий можна перетворити відразу, а брудний – спочатку вимити з милом, так?

- Зовсім ні. «Брудних» дробів не буває, бувають змішані періодичні, ось, наприклад, такі: 0,5(2).

- То вони не зможуть перетворитися у звичайні?

- Чому ж, можуть… Тільки правило там інше, трошки складніше. Хочете, розповім?

Але серед присутніх таких дробів не знайшлося. Вони були настільки втомлені грою, суперечкою і новими враженнями, що про жодні правила слухати не схотіли. То ж і ми з вами відкладемо це до іншого разу.

************************************

             

               Про ділення

Жило-було ділення. І вважало воно себе головним серед усіх дій. Чому? Бо воно усіх ділило, але так, як само того бажало: одних націло, інших з остачею, інших з нескінченним хвостом. Плакали такі Числа, та «хвіст» їх усе збільшувався і збільшувався. Діленню дуже подобалася ця робота і воно тільки кепкувало зі сліз

Чисел. Ще Ділення вміло дробити числа

на частини і записувати їх одне під одним за допомогою своєї дочки Рисочки. Такі Числа називалися звичайними Дробами.

Аж ось Ділення зустрілося з Нулем.

«Ах, який Нуль круглесенький, гарнесенький! Щоб із нього таке зробити?» - подумало Ділення та й вирішило його поділити. Поділило Нуль і знову вийшов Нуль. Тоді Ділення ще раз поділило, а Нуль як був, так і залишився нулем. Не повірило Ділення своїм очам. Знову і знову воно ділило Нуль, а відповідь була та сама. Вибилося із сил Ділення.

Тоді Рисочка запропонувала Нуль у знаменник звичайного дробу поставити, щоб на Нуль поділити. Але Ділення такого ніколи не робило. Не вийшло у нього нічого, тому що не можна на нуль ділити! І зрозуміло тоді Ділення, що не найголовніше воно, що не можна ставити себе вище за інші дії. Вибачилося Ділення перед усіма діями і почало поважати не тільки себе, ай інших. Цьому і свою доньку Рисочку навчає.   

************************************

      

Казка про доброго гнома

Жив собі,

Був собі

Гномик старенький.

Мав собі

Білу, як сніг, бороденьку.

Всі поважали

За мудрість його, рівністю звали

Всі гнома того.

Рівність по світу

Невтомно блукав, бо таємничий

Він корінь шукав.

А як знаходив,

То дуже радів.

Ніжно лунав тоді

Радісний спів.

Якось ми гнома у лісі зустріли.

Діти спитати його захотіли:

- Може не варто той корінь шукати,

 труднощів стільки в дорозі долати?

 Гном на березовий сперся ціпок

- Слухайте, діти, уважно урок.

Дуже багато рівнянь є в житті,

Треба для кожного корінь знайти.

Ви ж починаєте з парти шкільної,

З пошуків «ікс» та задачі важкої.

Раджу, хай труднощі вас не лякають,

Той переможе, хто їх подолає.

************************************

                Загадкове слово

                (Модуль)

Чи відомо вам у математичній країні місто Відо? Якщо Ні. То знайте, що живуть там числа і від*ємні , і додатні, і мешкають вони не де завгодно, а на числовій осі: додатні – праворуч, від*ємні – ліворуч, а між ними – пан Нуль. Він, як особа нейтральна, був суддею між числами різних знаків. А суперечки між ними останнім часом траплялись досить часто. До того не між будь-якими числами, а лише між протилежними. Наприклад, якщо зустрінуться числа 9 і -2, то тільки чемно привітаються і розійдуться у своїх справах. А якщо зустрінуться 9  і -9 , то таке відбувається… Кожне починає вихвалятися, оскільки вважає себе кращим..

- Я краще! У мене на числовій осі праворуч чудовий будинок! – каже Дев*ятка.

- Ну то й що? У мене теж чудовий будинок ліворуч від нуля, відповідає -9. - І я не бачу причин, чому додатній напрям повинен вважатися кращим за від*ємний. До того ж у мене є прекрасний знак – мінус. А в тебе немає знака.

- Як це немає? У мене теж є знак – плюс.

- А чого ти його приховуєш? Соромишся, певно?

- Чого б це я мала соромитися! Мій знак особливий, він може бути невидимкою. Це тільки ти не знаєш, що +9 це все одно, що просто 9. А ось ти свій мінус ніколи не можеш зробити невидимим. Отож я краща! Нікому не подобалося визнавати іншого кращим за себе, і тому суперечки не припинялися.

Але ось що трапилося одного разу. Маленька П*я -тірка дивилася по телевізору свою улюблену передачу «Поле чудес». Дивилася передачу вона одна, оскільки її друзі «Поле чудес» не дуже полюбляли. Їм більше подобалося передача «Сам собі режисер». Ведучий передачі «Поле чудес» пан Нульович, показавши на 6 клітинок, поставив чергове запитання: «Що є однаковим у двох протилежних чисел?»

Це так обурило П*ятірку (вона вважала, що у протилежних чисел абсолютно нічого не може бути  однакового), що вона вмить схопилася з місця і побігла до телефону – поділитися з друзями своїм обуренням… Проте  нікого не застала вдома і повернулася до телевізора, а там відповідали вже на інше запитання. Але запитання про однаковість між протилежними числами так зацікавило П*ятірку, що вона вже не могла ні про що інше і думати… Думала вона, думала, так ні до чого й не додумалася – немає нічого спільного й край! (Спільним, правда, були цифри в протилежних числах, але ж у слові «цифра» 5 букв, а не 6.)

Вирішила П*ятірка залучити до цієї справи своє протилежне число. Вибігла на подвір*я і покликала:

- Гей ти, Мінусп*ятірко, озвися!

- Чого тобі? – не дуже чемно (бо вони недавно посварилися) відповіла та.

- Що в нас з тобою однакового?

- Нічого однакового з тобою в мене немає. І бути не може.

Ні, є! З шести букв!

- До чого тут букви? Ми ж не букви, а цифри.

Тоді П*ятірка голосно, так, що було чути на всю числову вісь, почала пояснювати, в чому справа. Це чомусь не сподобалося числам-сусідам і вони з обуренням кричали: «Тихо! Дайте нам спокій!». Тоді П*ятірка вигукнула ще раз:

- Давай зустрінемося на нейтральній території і все обговоримо.

- А де це?

- Там, біля Нуля!

І вони попрямували одна одній назустріч. Мінусп*ятірка йшла і вголос лічила кроки (а кожний крок дорівнював одиничному відрізку):

- Один, два, три, чотири, п*ять…

- Я тут! Ти мене кликала? – почувся голос П*ятірки.

- Нічого я не кликала. Я просто лічила кроки. Їх до нуля від мого будинку рівно 5.

- П*ять? Так і я ж число 5, - задумалася П*ятірка. –Стривай-но, зараз я дещо перевірю…

І вона почала лічити кроки від свого будинку до початку відліку. Їх, звичайно, виявилося теж п*ять.

- Так ось що в нас спільного! Це – кількість кроків до початку відліку!- зраділа П*ятірка, намалювала шість клітинок і почала вписувати.

Але  одна клітинка виявилася зайвою. Мінусп*ятірка збагнула, що кількість кроків – це не що інше, як відстань від її будинку до початку відліку («І мого теж!» - сказала П*ятірка).

Але це слово також не підійшло.

Мінусп*ятірка запропонувала записувати в деякі клітинки по дві букви, і поки П*ятірка пояснила їй, що так робити не можна, вони незчулися, як до них підійшов пан Нуль (а саме біля його домівки вони тоді перебували). Вислухавши, яку проблему вирішують протилежні числа, він посміхнувся і сказав:

- Усе правильно. Протилежні числа знаходяться на однаковій відстані від початку відліку, тобто від мене.

- Але ж слово «відстань» за кількістю букв не підходить!

Це теж правильно. Справа в тому, що в

 математиці відстань від початку відліку до точки на числовій осі, що зображує число, настільки часто використовується і має таке велике значення, що для неї існує особливий термін. І це слово із шести букв!

А яке, яке це слово?

Це слово – «модуль». Ось так!

м

о

д

у

л

ь

- Отже, шановна П*ятірка і Мінусп*ятірко, - продовжував пан Нуль, - модуль кожної із вас дорівнювати п*яти. Ось що спільного між вами!

- Зараз я запишу, щоб не забути, - вирішила Мінусп*ятірка і записала так:

- «Модуль -5=5».

- Стривай. Так не можна,- заперечив пан Нуль, сказати «Модуль мінус п*яти дорівнює п*яти» - можна, а записати так, як ти зробила, - ні. У тебе ж вийшло, що протилежні числа рівні, а зовсім не так.

- Не так, звісно не так!- підтвердила П*ятірка.

- А як же бути? – розгубилася Мінусп*ятірка.

- Усе дуже просто, потрібен тільки знак модуля. І пан Нуль приніс блискучі металеві палички. Він поставив по паличці з кожного боку від 5 і -5.

Раптом щось миттєво спалахнуло перед ними опинилися рівності:

                  |-5|=5, |5|=5.

- Зрозуміли?

- Зрозуміли, - відповіла Мінусп*ятірка.- А модуль є лише в мене, а і в кожного від*ємного числа, чи не так?

- І у додатного теж? – запитала П*ятіркаю

- Так, у кожного числа є модуль. І знайти його дуже просто. Модуль додатного числа – саме це число, а модуль від*ємного числа – протилежне йому додатне число.

- А у вас, пане Нуль, теж є модуль?

- Звичайно є. Ось дивіться.

І пан Нуль, поставивши справа і зліва від себе по паличці, продемонстрував рівність

                   |0|=0.

Повертаючись додому, П*ятірка думала: «А все-таки ми, додатні числа, кращі! Наші модулі дорівнюють нам самим».

І вона вирішила написати на телебачення листа з пропозицією зробити телепередачу для додатних чисел: «Сам собі модуль».

************************************

   

 Казка про координатну площину

 У математичнім місті

 Літ тому не сто й не двісті,

 Літ чотириста назад

   Вигадав таке Декарт.

    Королева там одна –

   Координатна площина.

   Королеву шанували,

   Їй палац побудували.

   Там порядок і достаток,

   Називався він Початок.

   І були у королеви

   Дві дочки – координати.

   Старша звалася – Абсциса,

   А молодша – Ордината.

   Кожна срібну стрілку мала,

   По своїй прямій гуляла.

   А в Початку зустрічались.

   Потім знову розбігались.

   Стали доньки підростати,

   Кличе їх до себе мати:

   - Дозволяю вам гуляти.

   Лише я повинна знати,

Де ви, з ким ви. У саду

Кожну мить я вас знайду.

Ти, Абсцисо, пам*ятай:

Вліво й вправо лиш гуляй,

З Ординатою дружи,

Як молодшу бережи.

Ордината – вгору й вниз,

Ти слідкуй за нею скрізь.

Кожен крок повинна знати –

Ви ж на те координати.

Обізвалась Ордината:

Як Ви можете дізнатись,

Де захочемо сховатись?

Відійду на десять кроків -

Не знайти в траві високій.

Розгнівалась Королева,

Стала схожою на лева:

Хто не слуха? Подивлюсь!

Вправо, вгору – буде «плюс»,

Вниз і вліво – «мінус» буде!

Розшукаю вас усюди.

Кожен напрям має знак.

   Я сказала – буде так!

І з тих пір координати

Дуже легко розшукати.

Тільки слід запам*ятати –

Першою стоїть Абсциса,

А вже друга – Ордината.

Не забудьте, що всі кроки

Від початку слід лічити.

І Декарта пам*ятайте!

Успіхів вам, любі діти!

**********************************

    Координатна площина

Одного разу точка-мандрівниця повернувшися з подорожі, зібрала подруг і сестер, щоб розповісти про свої пригоди, про життя різних фігур і значення точок для цих фігур. Дуже уважно слухали розповіді допитливої сородички всі точки. Були і запитання, і сміх, і здивування з пригод точки. А наприкінці зустрічі всі стали смирними.

- Чому ви такі засмучені, сестри? Шкодуєте, що не подорожуєте? – запитала мандрівниця.

- Ні! Яке цікаве, корисне життя різних точок і прямих, а серед нас є такі, що і місця свого не мають, мешкають хто де може. Нам не подобається таке життя.

- Нас  завжди запрошують для побудови нових фігур, а буває, що дуже довго шукають, адже ми маленькі і бігаємо, граємось, тому нас важко знайти,- додала одна із точок.

- Так, потрібно знайти вихід, але такий, щоб на нашій площині кожна точка мала своє місце, - сказала ще одна точка.

- А як це зробити?

- Який вихід?- чулися запитання звідусюди. І от всі почали міркувати, шукати такий вихід. Одна,  найменша, Точка промовила:

- Давайте від краю площини вимірювати відстань, де буде будинок точки, місце її проживання. Дружно сміялися Точки з цієї неуки. Образилася та:

- Ви  чого смієтесь? Я добре все придумала.

- Ех ти! Потрібно знати площину, де мешкаєш: немає площини ні кінця , ні краю, - повідомила сусідка найменшої.

І знову всі почали думати.

-  Еврика! – закричали дві подруги – прямі.

- Якщо немає краю в площини, то можна

 вести відлік від нас, Прямих.

- А як це можна зробити? – запитали Точки.

- Я, Пряма, згодна попрацювати для вас: я буду межею, а ви обираєте свою відстань і за цією відстанню шукаєте місце на площині.

Пряма ще не закінчила розповідати за свій план, а Точки, не дослухавши, побігли в різні боки від неї, щоб швидше знайти місце для проживання. Але напрям руху і одиничний відрізок у кожної був свій, тому на одному місці зустрічалися одночасно кілька точок. Кожна вважала що це тільки її місце і тому не було порядку, почалися сварки, бійки.

- Стійте! Зупиніться, - закричала Пряма. – Не можна так!

І всі замовкли, соромно стало. Виходу не знаходили, хоча всі знали: повинен бути вихід. Але де він?

Тоді на допомогу прийшла матуся Площина. Її план був такий: не одна , а дві прямі перетинаються під прямим кутом і розміщуються на площині. Щоб ці прямі відрізнялися від інших і не було плутанини, точку перетину назвали Початком відліку, вибрали однаковий одиничний відрізок і на двох прямих з одного боку поставили стрілки – напрям, в який бік будуть розміщуватись додатні числа, а в протилежному напрямі – від*ємні. Щоб точка могла знайти своє місце, їй спочатку потрібно рухатися вздовж однієї прямої, як по вулиці, я потім вздовж другої до свого місця проживання. Тоді не буде плутанини і бійок.

- А вздовж якої прямої спочатку рухатись? – запитала наша допитлива точка.

- Прямі, як і вулиці, потрібно якось назвати, щоб зручніше було шукати місце проживання, - додала інша точка.

 Назву для прямих придумали чудову, закордонну: Вісь абсцис і Вісь ординат і першою завжди вважати Вісь абсцис. Наприклад, адреса точки А (записується А(-2;4)) позначає рух по Осі абсцис від початку відліку (0;0) вліво на два одиничних відрізки, а потім вгору на чотири одиниці паралельно Осі ординат.

Точки разом вивчили порядок руху, отримали від матусі Площини ордер на місце проживання і швиденько вирушили на свої місця. Як це було чудово! Точок безліч, але жодна не зіткнулася з іншою.  Всім вистачало місця, всі були задоволенні таким розв*язанням проблеми.

Точки знайшли постійне місце проживання, але це не означало, що маленькі точки перестали гратися, шкодити. Ні. Вони, як і раніше, бігали, стрибали, але якщо були потрібні для побудови нових фігур, то їх легко знаходили за їхньою адресою:

координатами. Дуже важливо мати своє місце в житті.