Теорема Вієта

   Тема уроку. Теорема Вієта.

   Мета уроку:     

    Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих ступенів розв’язувалися нашими далекими предками. Ці рівняння розв’язували в самих різних і віддалених один від одного країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися в будівництві, у військових справах, в побутових ситуаціях. Дуже цікаву властивість коренів квадратного рівняння виявив французький математик Франсуа Вієт. Цю властивість назвали теоремою Вієта.     

   Розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія.

    Квадратні рівняння вміли розв'язувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. Серед клинописних текстів були знайдені приклади розв'язування неповних, а також часткових випадків повних квадратних рівнянь. Відомо, що їхні методи розв'язання майже збігаються із сучасними, проте невідомо, яким чином вавилоняни дійшли до цих методів: майже на всіх знайдених до того часу клинописних текстах збереглися лиш вказівки до знаходження коренів рівнянь, але не вказано, як вони були виведені. Однак, не зважаючи на розвинутість математики у ті часи, в цих текстах немає ані найменшої згадки про від'ємні числа і про загальні методи розв'язання рівнянь.

   Загальне    правило   розв'язання    квадратних    рівнянь   було   сформоване німецьким   математиком   М. Штифелем  (1487 - 1567).   Виводом    формули загального  розв'язку   квадратних   рівнянь  займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році.

   Після  праць  нідерландського  математика  А. Жирара (1595 -1632), а також Декарта  і  Ньютона  спосіб  розв'язання квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.

   Теорема Вієта

   Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену.                         

   Для прикладу візьмемо зведене рівняння      і позначимо 

 через    а     через    Тоді воно матиме такий вигляд:  

   Отже, за теоремою Вієта:     

               

                                          Доведення:

   Якщо    рівняння       має    корені     і     то   їх   можна знаходити   за   формулами:

  і  

   При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

   Будь - яке   квадратне   рівняння   можна   перетворити  у  зведене,   іншими словами,  звести  його.  Для  цього  треба  обидві  частини  рівняння поділити на :

   Квадра́тні рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду:

  де  .

   Загальним розв'язком цього рівняння є формула:

   Числа   — його коефіцієнти,  причому    також   називається  першим коефіцієнтом,  — другим,  — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має:

·        або два різних дійсних корені,

·        або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),

·        або взагалі не має дійсних коренів.

   Теоре́ма Віє́та — формули,  названі  на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

    Ці    формули    зручно   використовувати    для    перевірки    правильності знаходження   коренів   та   для   задання   многочлена   з   визначеними властивостями.

   Якщо      корені   квадратного   рівняння   ,   то

   В частковому випадку при  (квадратне рівняння ) :

   Ця теорема є оберненою до теореми Вієта.

   Теорема Вієта чудова тим, що, не знаючи коренів квадратного тричлена, ми легко  можемо  обчислити  їх  суму  і  добуток, тобто найпростіші симетричні вирази  x₁ + x₂  і  x₁∙ x₂. 

   Так, ще не знаючи, як  обчислити корені рівняння   x² – x – 1 = 0,  ми, тим не менше, можемо сказати, що їх сума повинна дорівнювати 1, а добуток – 1.

Коли  рівняння  має  один  корінь,  його  можна  вважати  за  дварівних:                Тоді  для  незведеного  квадратного  рівняння ; ; для зведеного ,     Зверніть увагу: для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.

                                                                                                             
Під час розв’язування треба також враховувати такі висновки з теореми Вієта:

1. Якщо ,  і  мають різні знаки.

2. Якщо ,  і  обидва від’ємні чи обидва додатні. Знак  і  є протилежним до знака p.

Приклад:

.

За теоремою Вієта:

; ; .

Очевидно, що .

Відповідь: ; .ок має дорівнювати –1.                                     
Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює 1:
x²+px+q=0.
2. Розв’язування зведених квадратних рівнянь.
1) х²-6х+8=0;
2) х²+8х+15=0;

 

3) х²-х-6=0;

4) х²+7х+12=0.
Розв’язавши рівняння самостійно в зошитах, учні записують на дошці корені рівнянь. Учитель ставить учням запитання: „Як я, не розв’язуючи рівняння, встановлюю правильність його розв’язання?”

Виникає проблема, яку учні успішно розв’язують: встановлюється зв’язок між коренями рівняння і його коефіцієнтами.
Учні роблять висновки:
1) якщо зведене квадратне рівняння має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена,
2) ці корені однакових знаків, якщо q>0, та протилежних, якщо q<0.
5. Розв’язування рівнянь (самостійно за теоремою Вієта).

1) х­²+х-2=0;   2) х²-2х-3=0;

3) х²+2х-3=0; 4) х²-х-2=0;

5) х²-3х+2=0; 6) х²-3х-4=0.

Усі рівняння першого стовпчика мають однаковий корінь х₁=1, а рівняння другого стовпчика мають однаковий коріньх₁= -1, другі корені у них різні.

Виникає проблема: коли зведене квадратне рівняння має корінь 1 або -1? Коли повне квадратне рівняння , має один корінь 1 або -1?

Вірш про теорему Вієта.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – дробь уж готова – в числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе b, в знаменателе а.

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы

 

в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком.

 Решим квадратное уравнение: 3х² + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

3 + (–5) = –2.

В соответствии с теоремой Виета:

х₁ + х₂ = –2/3
х₁ · х₂ = –5/3.

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание: 
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень? 
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х₁ = 3/3, то:

3/3 + х₂ = –2/3.

Решаем простое уравнение:

х₂ = –2/3 – 3/3.

х₂ = –5/3. 

Ответ: х₁ = 1; х₂ = –5/3

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

D = p2 – 4q, где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член.

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

-p ± √D x = ———— .              2

 
Заметим, что теорему Виета в принципе можно сформулировать и для полного квадратного уравнения: если квадратное уравнение  имеет корни  и , то для них выполняются равенства   .

И еще один случай, когда применение теоремы Виета позволяет устно найти корни полного квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число 1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда . Второй корень уравнения находится по теореме Виета и равен . Еще одно утверждение: чтобы число –1 являлось корнем уравнения необходимо и достаточно, чтобы . Тогда второй корень уравнения по теореме Виета равен . Аналогичные утверждения можно сформулировать и для приведенного квадратного уравнения.

Пример . Решите уравнение .

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения равна нулю. Значит, корни уравнения .

Ответ: .

Пример . Решите уравнение .

Для коэффициентов этого уравнения выполняется свойство (действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни уравнения .

Ответ: ..

Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Задание 2. Решите квадратное уравнение с помощью свойства .

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

С помощью теоремы Виета можно решать задачи следующего содержания:
подбирать устно целые корни приведенного квадратного уравнения;
проверять с помощью обобщенной теоремы Виета полученные корни квадратных уравнений, не подставляя их в исходное уравнение;
используя зависимости между коэффициентами, подбирать устно корни уравнений с большими коэффициентами, дающими громоздкие вычисления с помощью дискриминанта;
различные задачи на зависимость между коэффициентами и корнями уравнений и т. д.

Розв’язування квадратних рівнянь ( проблемна ситуація). Учні об’єднуються у групи. Вони розв’язують рівняння в зошитах, відповіді               перевіряємо і записуємо на дошці до таблиці. Рівняння  Корені  Сума коренів Добуток коренів х2-9х+20=0      5;4             9              20 х2+3х-10=0     2;-5           -3            -10 х2-7х+6=0      6;1            7               6 х2-10х+9=0      9;1           10               9 х2+7х+10=0    -2;-5           -7              10 х2-6х+8=0      4;2            6                8

Рівняння шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Дійсно, рівняння не тільки мають важливе теоретичне значення, але і служать суто практичним цілям. Переважна кількість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до розв’язування різних видів рівнянь. Опановуючи способи їх розв’язування, ми знаходимо відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.). 

Деякі способи розв’язування рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі «Ал - Джабар» описав багато способів розв’язування різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (розв’язків) рівнянь. Необхідність у розв’язуванні таких рівнянь була потрібна в питаннях про розподіл спадщини.

x ² + bx + c = 0 
1. Якщо b> 0, c> 0, то обидва кореня від’ємні. 
2. Якщо b <0, c> 0, то обидва кореня додатні. 
3. Якщо b> 0, c <0, то корені рівняння мають різні знаки, причому від’ємний корінь за  абсолютною величиною більше додатнього. 
4. Якщо b <0, c <0, то корені рівняння мають різні знаки, причому від’ємний корінь за абсолютною величиною менше додатнього. 

Общий алгоритм решения по теореме Виета:

1) Приводим  квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое,  получились дробными (не десятичными), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

2) Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с «удобными» числами.

3) В случае когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует решать уравнение по теореме Виета.

Примечание : если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это зачастую бывает быстрее.