Олімпіада 10 клас

1. У квадратному тричлені aх2 + bx + c, дозволено замінювати кожен  коефіцієнт сумою або різницею двох інших. Чи можна таким чином із многочлена 2х2–5х –12 отримати многочлен дискримінант якого 23?

2. Розв’яжіть рівняння (х–1)⁴ + (х–3)⁴ =2.

3.Знайдіть всі натуральні числа а, для яких а3+1 є степенем числа 3.

4. У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ=ВС) бісектриса AD ділить бічну сторону у відношенні ВD:DС = 5:6. Знайти відстань між точкою перетину медіан і точкою перетину бісектрис цього трикутника, якщо  його периметр дорівнює 32.

5. У тридев’ятому королівстві кожні два міста з’єднані дорогою з одностороннім рухом. Довести, що існує місто, з якого в будь-яке інше можна проїхати не більш як двома дорогами.

Кожне завдання оцінюється в 5 балів

На виконання завдань відводиться 4 години

Використання калькуляторів заборонено